Guía para aprender las derivadas (argumentación)

Ya sabes que tienes una versión más esquematizada (y totalmente "libre de turra") de esta entrada aquí. Dedicaré esta entrada a defender el orden que allí se expone.

El estudio de las derivadas puede ser dividido en dos partes bastante bien diferenciadas. La primera sería, obviamente, aprender el cálculo de la derivada, digamos, lo que viene a ser la "operación". La segunda parte, correspondería a una profundización en el concepto. Esto  implica una reflexión sobre el significado y la aplicabilidad de la derivada, así como una aproximación práctica a los problemas en los cuales la derivada es la herramienta directa para su resolución. ¿En que orden? Pues según mi experiencia, en el expuesto. Es decir, primero aprendemos la "operación" y después ya viene la reflexión. Es verdad que se suele empezar introduciendo el concepto por medio de su definición como límite, pero según mi experiencia esto no es necesario ni práctico. Yo defiendo más lo que Descartes nos predica:

Si alguien, en efecto, quisiera ejercer una de estas artes, por ejemplo de la de forjador, y se viera desprovisto de todo instrumento, se vería ciertamente forzado al comienzo a servirse de una piedra o de algún bloque informe de hierro a manera de yunque, a coger un guijarro como martillo [...] Después de estos preparativos, no se esforzaría de inmediato a forjar para uso de otras espadas o cascos o cualquier objeto de hierro; sino que, antes que todo, fabricaría martillos, un yunque, tenazas y todo lo demás que le fuera útil a él mismo.

Es decir, lo primero que haremos será de dotarnos de la herramienta. Y después ya, de forma ordenada, empezaremos a fabricar todo aquello que nos resulte útil, en este caso, entender qué es y para qué sirve una derivada. Entender y luego aplicar. Por lo tanto mi guía y mi consejo para el estudio quedaría como sigue:

Primero: Aprender a derivar. Este es, bajo mi punto de vista, una de las cosas que peor se enseña. Sucede que quizá, aprender a derivar, sea la segunda vez en la vida en la que necesitamos "estudiar" matemáticas. La primera vez es cuando tenemos que aprender las tablas de multiplicar del 1 al 10. Y ahí, al menos en mi época, pasábamos las clases enteras cantando a coro "uno por uno, uno", "dos por una, dos"... y de ahí que no conozca a nadie de mi quinta, tenga más o menos cultura matemática, tenga más o menos cultura en general, que no sepa multiplicar. Esto de las tablas de multiplicar parece que también se ha perdido, y es por eso que cada vez que me cruzo con estudiantes que ronden los 15-17 años o menores, cada vez es más frecuente, que no se sepan las tablas de multiplicar. Si, así de triste es. Pero este no es el tema que nos ocupa. La cuestión aquí es que necesitamos aprender la herramienta, necesitamos aprender a derivar, y necesitamos hacerlo de la forma más sólida y más rápida que sea posible. De forma organizada. Cómo decía hace un momento,  esto, repito, bajo mi punto de vista, no se hace de forma correcta hablando en forma genérica. Es común darle al alumno una tabla llena de formulas (además, con dos columnas, una para el caso particular de la variable 'x' y otra para el caso general de una función 'f') y se empieza directamente a derivar funciones que implican operaciones (producto o división) y funciones compuestas y a llenarnos la boca de "regla de la cadena". Pero esto lleva al alumno a no ser capaz de encontrar ningún patrón lógico en el cálculo de las derivadas, cuando ciertamente, este patrón existe. Volvamos a citar a Descartes: Todo el método consiste en el orden y la disposición de los objetos sobre los cuales hay que centrar la penetración de la inteligencia para descubrir alguna verdad. Tenemos que pensar que el estudiante es siempre inexperto y necesita una guía, un método. Y un método es una forma de organización más allá de "estas son las reglas, búscate la vida". Es importante empezar de lo sencillo a lo complejo e ir subiendo escalones paso a paso cuando ya tenemos dominado uno. Primero aprendemos a derivar cada función elemental simple y luego ya nos preocupamos de las operaciones.

Segundo: Una vez que ya tenemos dominada la herramienta entonces vamos a tener posibilidad de desenvolvernos con soltura en su uso, es decir, en este caso, en todo lo que tenga algo que ver con la derivada y sus aplicaciones. Aplicaciones de la derivada hay muchísimas: la ecuación de la recta tangente a una función en un punto, cálculo de máximos y mínimos, estudio del crecimiento-decrecimiento o la curvatura de una función, optimización de funciones, teoremas del cálculo,... Pero además de esto está el estudio de la cualidad en sí mismo, es decir, saber estudiar cuándo una función es derivable, o no , en un punto. Y en este punto también hay mucha tela que cortar. Sucede que por simplicidad se ha ido introduciendo a niveles de bachillerato una metodología que sobrepasa y en mucho los niveles de bachillerato (tristemente también el de muchos profesores, y no quiero yo caer aquí en el simplismo de criticar al cuerpo docente y por lo tanto me quedaré simplemente en el uso de ese adjetivo, tristemente). Particularmente no tengo ningún problema con que en matemáticas se usen las herramientas y la imaginación para simplificar al máximo los esfuerzos los cálculos en cualquier problema (de echo, es algo que intento inculcar en mis estudiantes), pero esto no puede implicar que perdamos el rigor. Es común que cuanto más sencilla es una herramienta en su aplicación, más compleja es la matemática que queda detrás, y por lo tanto, más esfuerzos argumentativos se tienen que hacer. Y esto pasa aquí. Es verdad que el estudio de la derivabilidad usando la definición de límite puede resultar tedioso pero esto no nos puede llevar al simplismo de estudiar la continuidad de la derivada como si realmente estuviéramos estudiando la derivabilidad. He visto en este sentido errores garrafales por parte de alumnos y de profesores, y esto me llevó a grabar un par de vídeos hablando sobre esto de la derivabilidad y las consideraciones que teníamos que tener en cuenta para utilizar el estudio de la continuidad de la derivada de una función para sacar conclusiones sobre la derivabilidad de la función. Nunca debemos perder el rigor. Nunca. Porque cuando falta el rigor se empieza a degenerar todo y al final no se dicen más que mentiras.

La guía más lógica para el estudio de todo esto con los correspondientes enlaces a cada vídeo los tenéis en esta entrada, para que toda esta verborrea no os ensucie el estudio. Ahora a darle duro y cualquier duda o sugerencia a los comentarios de aquí abajo o en el propio canal.

Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.